Để củng cố kỹ năng và kiến thức cho các bạn Sinh viên năm nhất vẫn học về Tích phân đường, tích phân mặt. Mình sẽ gửi lên đây những bài toán từ cơ bản đến nâng cao để các bạn rèn luyện, trau dồi năng lực giải toán. Như tiêu đề của topic thì tôi chỉ xin đề cập mang đến hai vấn đề là Tích phân con đường và tích phần khía cạnh trong chương trình Toán cao cấp.Ta sẽ bắt đầu vớiPHẦN 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNGI. Cầm tắt loài kiến thức.

Bạn đang xem: Tích phân mặt loại 1

Phần này các chúng ta cũng có thể xem lại những khái niệm, tính chất, những định lí, hệ trái cũng như cách thức tính trong những giáo trình Toán thời thượng liên quan.II. Ví dụ như và bài bác tập.Ví dụ 1: Tính $\oint\limits_L \left( x - y \right) ds$, trong những số ấy $L:x^2 + y^2 = 2ax$GIẢI.Chuyển qua tọa độ rất $\left\{ \begingathered x = r\cos \varphi \\ y = r\sin \varphi \\\endgathered \right.$Trong tọa độ cực phương trình con đường tròn có dạng $r = 2a\cos \varphi , - \frac\pi 2 \leqslant \varphi \leqslant \frac\pi 2$Vi phân độ nhiều năm cung: \Do đó: \<\oint\limits_L \left( x - y \right) ds = \int\limits_ - \frac\pi 2^\frac\pi 2 \left< \left( 2a\cos \varphi \right)\cos \varphi - \left( 2a\sin \varphi \right)\sin \varphi \right> 2ad\varphi \>\< = 4a^2\int\limits_ - \frac\pi 2^\frac\pi 2 \cos ^2\varphi d\varphi = 4a^2\int\limits_ - \frac\pi 2^\frac\pi 2 \left( \frac1 + \cos 2\varphi 2 \right) d\varphi = ... = \boxed2\pi a^2\>Ví dụ 2: Tính $I = \oint\limits_L y^2dx - x^2 dy$, trong những số ấy $L$ là chiều dương chu vi của nửa khía cạnh tròn $x^2 + y^2 \leqslant R^2,y \geqslant 0$.GIẢI. Ta rất có thể giải quyết bài xích này bằng 2 cách.Cách 1: Tính trực tiếp (các bạn vẽ hình ra để dễ chú ý nhé)Xét nửa phương diện tròn tâm $O$ bán kính $R$ nằm tại trục $Ox$ gồm chiều từ $B \to A,B\left( R;0 \right),A\left( - R;0 \right)$Phương trình tham số của nửa con đường tròn: $x = R\cos t,y = R\sin t$Khi đó: \\< = R^3\int\limits_0^\pi \left( 1 - \cos ^2t \right)d\left( \cos t \right) - \left( 1 - \sin ^2t \right)d\left( \sin t \right) \>\< = R^3\left( _0^\pi - \left. \frac13\cos ^3t \right \right) = \boxed - \dfrac43R^3\>Cách 2.

Xem thêm: Hair Lotion Vijully Có Tốt Không, Giá Bao Nhiêu

 Dùng công thức Green.Ta có: \<\left\{ \beginarraylP = y^2\\Q = - x^2\endarray \right. \Rightarrow \left\{ \beginarrayl\frac\partial P\partial y = 2y\\\frac\partial Q\partial x = - 2x\endarray \right. \Rightarrow \frac\partial Q\partial x - \frac\partial P\partial y = - \left( 2x + 2y \right) = - 2\left( x + y \right)\>Khi đó: \dxdy = - 2\iint\limits_D \left( x + y \right)dxdy\>trong đó $D = \left\ \left( x;y \right)/x^2 + y^2 \leqslant R^2,y \geqslant 0 \right\$Chuyển qua tọa độ cực: $\left\{ \beginarraylx = r\cos \varphi \\y = r\sin \varphi\endarray \right.$ với $\left\{ \beginarrayl0 \le r \le R\\0 \le \varphi \le \pi\endarray \right.$Do đó: \Chú ý: Công thức Green chỉ được áp dụng trong ngôi trường hợp mặt đường lấy tích phân là con đường cong bí mật và các hàm số $P\left( x;y \right),Q\left( x;y \right)$ và những đạo hàm riêng biệt $\frac\partial P\partial y,\frac\partial Q\partial x$ cùng liên tiếp trong miền $D$ giới hạn bởi con đường cong không tự giảm trơn từng khúc $L = \partial D$.Sau phía trên mình nhờ cất hộ tới các bạn một số bài bác tập.Bài 1. Tính tích phân $\oint\limits_L \fracxy ds$, trong các số ấy $L$ là cung Parabol $y^2 = 2x$ từ bỏ điểm $\left( 1;\sqrt 2 \right)$ đến $(2;2)$.Bài 2. Tính tích phân $\oint\limits_L \left( 3x^2 + y \right)dx + \left( x - 2y^2 \right)dy $, trong các số ấy $L$ là biên của hình tam giác với đỉnh $A\left( 0;0 \right),\,\,B\left( 1;0 \right),\,\,C\left( 0;1 \right)$.Bài 3. Tính tích phân $\oint\limits_L \frac\left( x + y \right)dx - \left( x - y \right)dyx^2 + y^2 $, trong đó $L$ là chiều dương của mặt đường tròn $x^2 + y^2 = a^2$.